共通テスト数学対策講座

第9講

確率と場合の数

順列・組合せ・余事象 ── 数えるテクニックの3本柱

福岡先生 15分で得点源に変える

今日のゴール

Goals of this lecture

01

順列 P と組合せ C を使い分け

「並べる」か「選ぶだけ」かで判別する

02

確率の基本式を反射で適用

$P = \dfrac{\text{目的の場合の数}}{\text{全体の場合の数}}$

03

余事象で計算を高速化

「少なくとも〜」は余事象で逃げる

結論

数えるか、確率にするか

場合の数

P と C

順列 $_nP_r$ / 組合せ $_nC_r$

訳:何通り?

確率

$P = \dfrac{a}{n}$

目的の場合の数 / 全体の場合の数

訳:何分の何?

基本公式

順列と組合せ

PERMUTATION & COMBINATION

$_nP_r = \dfrac{n!}{(n-r)!}$ ── 並べる

$_nC_r = \dfrac{n!}{r!\,(n-r)!} = \dfrac{_nP_r}{r!}$ ── 選ぶ

違いは「順番を区別するか」。区別する=P / 区別しない=C。

判別チャート

P と C ── どっちを使う?

P (順列)

順番が結果に影響する

例:「6人から3人を選んで一列に並べる」→ $_6P_3 = 120$ 通り。

C (組合せ)

順番は関係ない

例:「6人から3人を選ぶ」(順番不問)→ $_6C_3 = 20$ 通り。

「並べる」=P /「選ぶだけ」=C。これだけ。

確率の定義

確率の基本式

PROBABILITY

$P(A) = \dfrac{\text{事象 A の場合の数}}{\text{全事象の場合の数}}$

同様に確からしい場合の数の比 ── 分母と分子は同じ数え方をする(両方順列or両方組合せ)。

具体例 ①

サイコロ2個を振って和が7になる確率

1

全事象を数える

$6 \times 6 = 36$ 通り。

2

目的の事象を数える

和が7の組:(1,6)(2,5)(3,4)(4,3)(5,2)(6,1) ── 6通り。

3

確率を計算

$P = \dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$

便利テク

余事象 ── 最強の高速化

COMPLEMENT EVENT

$P(A) = 1 - P(\bar{A})$

$\bar{A}$ = A が起こらない場合

「少なくとも1つ〜」「〜以外」というキーワードを見たら余事象で逃げる。

具体例 ②

コイン3枚を投げて少なくとも1回表が出る確率

1

余事象を考える

余事象=「3回とも裏」

2

余事象の確率

$P(\bar{A}) = \left(\dfrac{1}{2}\right)^3 = \dfrac{1}{8}$

3

元の確率を求める

$P(A) = 1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}$

頻出パターン

共通テスト確率の3大シーン

サイコロ・コイン・カードが定番素材

パターンを覚えてしまえば、本番で迷わない

3大シーン

1

サイコロ

$6^n$ 通りが基本。和・差・積で出題

2

コイン

$2^n$ 通り。表裏 + 余事象が頻出

3

カード

色・数字の組合せ。$_nC_r$ で攻める

実戦演習

共通テスト形式で確認

問サイコロを3回振って少なくとも1回6が出る確率は?

① $\dfrac{1}{2}$

② $\dfrac{91}{216}$ ◀ 正解

③ $\dfrac{125}{216}$

④ $\dfrac{1}{216}$

余事象「3回とも6以外」の確率は $\left(\dfrac{5}{6}\right)^3 = \dfrac{125}{216}$。よって $P = 1 - \dfrac{125}{216} = \dfrac{91}{216}$ ── ②が正解。

本日のチェックリスト

反射で答えられたら習得完了

✓

順列の公式は?

$_nP_r = \dfrac{n!}{(n-r)!}$

✓

組合せの公式は?

$_nC_r = \dfrac{_nP_r}{r!}$

✓

確率の基本式は?

目的 / 全体

✓

余事象の公式は?

$P(A) = 1 - P(\bar{A})$

✓

「少なくとも〜」は?

余事象で攻める

複素数平面

$i$ で平面を回す

予習のすすめ

$i^2 = -1$ と複素数の四則演算を確認しておくと、次回楽になります。