共通テスト数学対策講座

第8講

定積分と面積

面積=積分の幾何的意味 ── 微分の逆を使いこなす

福岡先生 15分で得点源に変える

今日のゴール

Goals of this lecture

01

不定積分の公式を暗唱

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ を反射で出す

02

定積分=面積を理解

上下のグラフで挟まれた面積を積分で求める

03

$\frac{1}{6}$ 公式を活用

2次曲線と直線で挟まれた面積の最速公式

結論

積分は「微分の逆」+ 面積

不定積分

$\int f(x) dx$

微分すると $f(x)$ になる関数。+ 定数 C

訳:微分の逆

定積分

$\int_a^b f(x) dx$

グラフと x 軸で囲まれた符号付き面積

訳:面積を計算

基本公式

積分の基本ルール

INTEGRATION RULES

$\int x^n \, dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$

$\int_a^b f(x) \, dx = [F(x)]_a^b = F(b) - F(a)$

微分の逆。$x^n$ は指数を1上げて、その数で割る。定積分は端点での差。

具体例 ①

$\int_0^2 (x^2 - x) \, dx$ を計算

1

不定積分を求める

$\int (x^2 - x) \, dx = \dfrac{x^3}{3} - \dfrac{x^2}{2} + C$

2

端点で値を計算

$F(2) = \dfrac{8}{3} - 2 = \dfrac{2}{3}$ / $F(0) = 0$

3

差を取る

$\int_0^2 (x^2 - x) \, dx = F(2) - F(0) = \dfrac{2}{3}$

面積公式

2曲線で挟まれた面積

AREA BETWEEN CURVES

$S = \int_a^b \{f(x) - g(x)\} \, dx$

($f(x) \geq g(x)$ on $[a, b]$)

「上のグラフ − 下のグラフ」を積分するだけ。順番を間違えると符号が反転。

裏ワザ

$\frac{1}{6}$ 公式 ── 共通テスト超頻出

ONE-SIXTH FORMULA

$y = ax^2 + bx + c$ と直線で囲まれた面積:

$S = \dfrac{|a|}{6} (\beta - \alpha)^3$

$\alpha, \beta$ は交点の x 座標。2次曲線+直線の組み合わせは、積分せず一発で出る。

具体例 ②

$y=x^2$ と $y=x+2$ で囲まれた面積

1

交点を求める

$x^2 = x + 2 \Rightarrow x^2 - x - 2 = 0 \Rightarrow x = -1, 2$

2

差分関数を作る

上 $y=x+2$, 下 $y=x^2$ → 積分対象は $(x+2) - x^2 = -x^2 + x + 2$

3

$\frac{1}{6}$ 公式で一発

$a=-1, \alpha=-1, \beta=2$ → $S = \dfrac{1}{6}(2-(-1))^3 = \dfrac{27}{6} = \dfrac{9}{2}$

裏ワザ集

面積公式 ── 知っておくべき3つ

$\frac{1}{6}$

2次曲線 + 直線

$S = \dfrac{|a|}{6}(\beta - \alpha)^3$。交点さえ求めれば計算1ステップ。

$\frac{1}{3}$

2次曲線 + 接線

$S = \dfrac{|a|}{3}(\beta - \alpha)^3$。接線は2次曲線と1点で接する。

$\frac{1}{6}$ と $\frac{1}{3}$ の使い分けがポイント。共通テストで時短になる。

実戦演習

共通テスト形式で確認

問 $y=x^2$ と $y=2x+3$ で囲まれた面積は?

① $\dfrac{16}{3}$

② $\dfrac{32}{3}$ ◀ 正解

③ $\dfrac{27}{2}$

④ $\dfrac{9}{2}$

交点:$x^2 = 2x + 3 \Rightarrow x^2 - 2x - 3 = 0 \Rightarrow x = -1, 3$。$\frac{1}{6}$ 公式で $a=-1$ → $S = \dfrac{1}{6}(3-(-1))^3 = \dfrac{64}{6} = \dfrac{32}{3}$ ── ②が正解。

本日のチェックリスト

反射で答えられたら習得完了

✓

$\int x^n dx$ は?

$\dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C$

✓

2曲線間の面積は?

上−下を積分

✓

$\frac{1}{6}$ 公式は何用?

2次曲線+直線

✓

$\frac{1}{3}$ 公式は何用?

2次曲線+接線

✓

定積分 $\int_a^b f$ の値は?

$F(b)-F(a)$

確率と場合の数

P・C・サイコロ・コイン

予習のすすめ

順列 $_nP_r$ と組合せ $_nC_r$ の違いを復習しておくと、次回がスムーズです。