共通テスト数学対策講座

第7講

微分と接線・極値

微分係数の3つの顔 ── 共通テスト数IIB の心臓部

福岡先生 15分で得点源に変える

今日のゴール

Goals of this lecture

01

微分係数の3つの意味を理解

瞬間変化率 / 接線の傾き / 増減判定の指標

02

接線の方程式を即書く

点と傾きから接線を作るテンプレを暗記

03

極値の位置を見抜く

$f'(x) = 0$ から増減表を作って判別

結論

微分を「3つの顔」で掴む

計算面

導関数 $f'(x)$

$(x^n)' = nx^{n-1}$。多項式は機械的に微分できる

訳:変化の速さ

幾何面

接線の傾き

点 $(a, f(a))$ での接線の傾きは $f'(a)$

訳:グラフの傾き

基本公式

微分の基本ルール

DERIVATIVE RULES

$(x^n)' = nx^{n-1}$

$(f \pm g)' = f' \pm g'$

$(c f)' = c f' \quad (c : \text{定数})$

多項式の微分は、項ごとに $(x^n)' = nx^{n-1}$ を適用するだけ。

接線の公式

接線の方程式

TANGENT LINE

点 $(a, f(a))$ での接線:

$y - f(a) = f'(a) \, (x - a)$

「点 $(a, f(a))$ を通り、傾き $f'(a)$ の直線」── 中学の点と傾きの公式と同じ。

解法フロー

接線の方程式を求める手順

1

$f'(x)$ を求める

多項式を機械的に微分する。

2

$x = a$ を代入して傾き

$f'(a)$ が接線の傾き。

3

通る点 $(a, f(a))$ を計算

$f(a)$ も求めておく。

4

点と傾きから方程式

$y = f'(a)(x - a) + f(a)$ を整理して完成。

具体例 ①

$f(x) = x^3 - 3x$ の $x=2$ での接線

例文

$f'(x) = 3x^2 - 3$

【計算】 $f'(2) = 9$, $f(2) = 2$ → 接線:$y = 9x - 16$

使い方の核心

$f'(x) = 3x^2 - 3$ を求める
$f'(2) = 12 - 3 = 9$(接線の傾き)
$f(2) = 8 - 6 = 2$(通る点 $(2,2)$)
$y - 2 = 9(x - 2) \Rightarrow y = 9x - 16$

極値の判定

極値=傾き0の点

EXTREMA

$f'(x) = 0$ となる $x$ を求める

増減表で $f'$ の符号変化をチェック

$f'(x) = 0$ は極値の「候補」。実際に極値かどうかは符号変化で判定。

具体例 ②

$f(x) = x^3 - 3x$ の極値を求める

1

$f'(x) = 0$ を解く

$3x^2 - 3 = 0 \Rightarrow x = \pm 1$

2

増減表を作る

$x = -1$ で $f'$ は $+ \to -$:極大値。$x = 1$ で $- \to +$:極小値。

3

極値を計算

$f(-1) = -1 + 3 = 2$(極大値) / $f(1) = 1 - 3 = -2$(極小値)

判別チャート

$f'$ の符号と関数の挙動

増加

$f'(x) > 0$ の区間

グラフは右上がり。$f$ は増加する。

減少

$f'(x) < 0$ の区間

グラフは右下がり。$f$ は減少する。

$f'$ の符号が変わる点 = 極値の候補。

実戦演習

共通テスト形式で確認

問 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ の極大値は?

① $0$

② $2$

③ $4$ ◀ 正解

④ $6$

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3(x-1)(x-3)$。$f'=0 \Rightarrow x=1, 3$。$x=1$ で $+ \to -$ なので極大。$f(1) = 1 - 6 + 9 = 4$ ── ③が正解。

本日のチェックリスト

反射で答えられたら習得完了

✓

$(x^n)'$ は?

$nx^{n-1}$

✓

接線の方程式は?

$y = f'(a)(x-a) + f(a)$

✓

極値の必要条件は?

$f'(x) = 0$

✓

極大値の条件は?

$f'$ が $+ \to -$

✓

増減判定の指標は?

$f'$ の符号

定積分と面積

面積=積分の幾何的意味

予習のすすめ

不定積分 $\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ を予習しておくと楽になります。