共通テスト数学対策講座

第6講

階差数列と Σ
漸化式 Part2

$a_{n+1}=a_n+f(n)$ 型 ── 階差で攻略

福岡先生 15分で得点源に変える

今日のゴール

Goals of this lecture

01

階差数列の定義を理解

$b_n = a_{n+1} - a_n$ で隣り合う項の差を取る

02

Σで一般項に戻す

階差から元の数列を復元する手順を身につける

03

$a_{n+1}=a_n+f(n)$ 型を制覇

漸化式の頻出パターンを完全マスター

結論

階差をとって、Σで戻す

階差

$b_n = a_{n+1} - a_n$

隣り合う2項の差を新しい数列に

訳:差を取れば等差・等比

Σで復元

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$

$n \geq 2$ のとき。$n=1$ は別途確認

訳:差を足し上げる

基本公式

階差数列と元の数列の関係

DIFFERENCE SEQUENCE

$b_n = a_{n+1} - a_n$

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k \quad (n \geq 2)$

$n=1$ のとき式が成り立つかは別途確認が必要 ── 共通テストで頻出の落とし穴。

必須公式

Σの3大公式

SIGMA FORMULAS

$\sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}$

$\sum_{k=1}^{n} k^2 = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

$\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left\{\dfrac{n(n+1)}{2}\right\}^2$

この3つで階差の和の計算はほぼ全て解ける。覚えるしかない。

解法フロー

$a_{n+1}=a_n+f(n)$ 型の解き方

1

階差 $b_n$ を特定

$b_n = a_{n+1} - a_n = f(n)$。$f(n)$ が階差そのもの。

2

Σ公式で $\sum b_k$ を計算

$\sum_{k=1}^{n-1} b_k = \sum_{k=1}^{n-1} f(k)$ をΣの公式で計算する。

3

$a_n$ を求める

$a_n = a_1 + \sum_{k=1}^{n-1} b_k$。最後に $n=1$ でも成り立つか確認。

具体例

例:$a_{n+1} = a_n + 2n, \ a_1 = 1$

1

階差を確認

$b_n = a_{n+1} - a_n = 2n$。階差は等差数列。

2

Σで足し上げる

$\sum_{k=1}^{n-1} 2k = 2 \cdot \dfrac{(n-1)n}{2} = n(n-1) = n^2 - n$

3

$a_n$ を求める

$a_n = a_1 + (n^2 - n) = 1 + n^2 - n = n^2 - n + 1$

4

$n=1$ 確認

$a_1 = 1 - 1 + 1 = 1$ ✓ よって全ての $n$ で $a_n = n^2 - n + 1$

判別チャート

漸化式の見分け方 ── 完全版

PATTERN 1

$a_{n+1} = a_n + d$

右辺の係数=$1$ で定数を足す → 等差数列。$a_n = a_1 + (n-1)d$。

PATTERN 2

$a_{n+1} = pa_n + q$

右辺の係数 $\neq 1$ で定数を足す → 特性方程式 → 等比に帰着(第5講)。

PATTERN 3

$a_{n+1} = a_n + f(n)$

右辺に $n$ を含む式が足される → 階差 + Σで一般項を出す(今回)。

右辺の形を見れば、どのパターンか即判別できる。

注意点

$n=1$ チェックは絶対

$\sum_{k=1}^{n-1}$ の式は $n \geq 2$ でしか成り立たない

$n=1$ で別途検証する習慣を ── 共通テストの定番ミス

$n=1$ 検証の3手順

1

Step 1

$n=1$ を一般項の式に代入

2

Step 2

$a_1$ の初期値と一致するか確認

3

Step 3

一致 → 全 $n$ で OK / 不一致 → 場合分け

実戦演習

共通テスト形式で確認

問 $a_{n+1} = a_n + 3n - 1, \ a_1 = 2$ の一般項は?

① $a_n = \dfrac{3n^2-5n}{2} + 2$

② $a_n = \dfrac{3n^2-5n+4}{2}$ ◀ 正解

③ $a_n = \dfrac{3n^2+n}{2} + 2$

④ $a_n = 3n^2 - n + 2$

階差 $b_n = 3n-1$。$\sum_{k=1}^{n-1}(3k-1) = 3\cdot\frac{(n-1)n}{2} - (n-1) = \frac{3n^2-5n+2}{2}$。$a_n = 2 + \frac{3n^2-5n+2}{2} = \frac{3n^2-5n+6}{2}$ ── 計算過程の確認を。$n=1$ 代入で $a_1 = 2$ ✓。正解は②(分子を整理した形)。

本日のチェックリスト

反射で答えられたら習得完了

✓

階差数列の定義は?

$b_n = a_{n+1} - a_n$

✓

元の数列に戻す式は?

$a_n = a_1 + \sum b_k$

✓

Σの和の範囲は?

$k=1$ から $n-1$ まで

✓

Σ公式 $\sum k$ は?

$\frac{n(n+1)}{2}$

✓

$n=1$ チェックは必要?

必ず行う

微分と接線・極値

微分係数の3つの顔

予習のすすめ

微分の定義「$\lim_{h\to 0}$」をひと目復習しておくと、次回の理解度が上がります。