共通テスト数学対策講座

第5講

数列の漸化式
3パターンで全制覇

医学部志望のための数学得点戦略

福岡先生 15分で得点源に変える

今日のゴール

Goals of this lecture

01

3つの基本型を識別

等差・等比・$a_{n+1}=pa_n+q$ 型を瞬時に見分ける

02

解法フローを確立

型を見たら反射で「次の手」が出る状態にする

03

共通テスト形式で得点

誘導付き問題で正答にたどり着く実戦力をつける

結論

漸化式は「3つの型」しかない

等差・等比

基本中の基本

$a_{n+1} = a_n + d$ / $a_{n+1} = ra_n$

訳:差・比で増減

$a_{n+1}=pa_n+q$

医学部頻出

特性方程式で「等比型」に帰着

訳:差をとると等比数列

PATTERN 1

等差数列の漸化式

ARITHMETIC PROGRESSION

$a_{n+1} = a_n + d \quad (d : \text{公差})$

$\Rightarrow a_n = a_1 + (n-1)d$

「次の項=前の項+一定の数」=等差数列。共通テストでは最も基礎の型。

PATTERN 2

等比数列の漸化式

GEOMETRIC PROGRESSION

$a_{n+1} = r\, a_n \quad (r : \text{公比})$

$\Rightarrow a_n = a_1 \cdot r^{\,n-1}$

「次の項=前の項×一定の数」=等比数列。$r \ne 1$ のとき指数関数的に増減。

PATTERN 3 ── 最頻出

$a_{n+1} = p a_n + q$ 型

LINEAR RECURRENCE

$a_{n+1} = p\, a_n + q \quad (p \ne 1)$

特性方程式: $\alpha = p\alpha + q \Rightarrow \alpha = \dfrac{q}{1-p}$

$\Rightarrow a_n - \alpha = (a_1 - \alpha) \cdot p^{\,n-1}$

特性方程式の解 $\alpha$ を引くと等比数列に化ける ── 共通テスト超頻出。

解法フロー

$a_{n+1}=pa_n+q$ 型の解き方

1

特性方程式を立てる

$\alpha = p\alpha + q$ を解いて $\alpha$ を求める。

2

両辺から $\alpha$ を引く

$a_{n+1} - \alpha = p(a_n - \alpha)$ となり、$b_n = a_n - \alpha$ は公比 $p$ の等比数列。

3

一般項に戻す

$b_n = (a_1 - \alpha) p^{\,n-1}$ より $a_n = (a_1 - \alpha) p^{\,n-1} + \alpha$。

具体例

例:$a_{n+1} = 2a_n + 3, \ a_1 = 1$ を解く

1

特性方程式

$\alpha = 2\alpha + 3 \Rightarrow \alpha = -3$

2

両辺から $-3$ を引く(=$+3$ する)

$a_{n+1} + 3 = 2(a_n + 3)$。$\quad b_n = a_n + 3$ とおくと $b_{n+1} = 2 b_n$。

3

$b_n$ は等比数列

初項 $b_1 = a_1 + 3 = 4$、公比 $2$。よって $b_n = 4 \cdot 2^{\,n-1} = 2^{\,n+1}$。

4

$a_n$ を求める

$a_n = b_n - 3 = 2^{\,n+1} - 3$。

判別チャート

与えられた漸化式 ── どれが正解?

CHECK 1

係数 $p$ は1か?

$p = 1$ なら等差型 $a_{n+1} = a_n + q$。$\quad q = 0$ なら等比型 $a_{n+1} = pa_n$。

CHECK 2

$q$ は定数か?

$q$ が定数なら $a_{n+1}=pa_n+q$ 型。$\quad q$ が $n$ を含むなら階差型(次講)。

迷ったら、まず $p=1$ か $q=0$ かをチェック。例外を先に潰すと型が見える。

実戦演習

共通テスト形式で確認

問 $a_{n+1} = 3a_n - 4, \ a_1 = 3$ で定まる数列 $\{a_n\}$ の一般項は?

① $a_n = 3^{\,n-1} + 2$ ◀ 正解

② $a_n = 3^{\,n} - 2$

③ $a_n = 3^{\,n-1} \cdot 2 + 1$

④ $a_n = 2 \cdot 3^{\,n-1} + 1$

特性方程式 $\alpha = 3\alpha - 4 \Rightarrow \alpha = 2$。$a_n - 2 = (a_1 - 2)\cdot 3^{\,n-1} = 3^{\,n-1}$。よって $a_n = 3^{\,n-1} + 2$ ── ①が正解。

本日のチェックリスト

反射で答えられたら習得完了

✓

等差数列の漸化式は?

$a_{n+1} = a_n + d$

✓

等比数列の漸化式は?

$a_{n+1} = r\, a_n$

✓

$a_{n+1}=pa_n+q$ の解法は?

特性方程式 → 等比に帰着

✓

特性方程式の立て方は?

$\alpha = p\alpha + q$

✓

$p=1$ のとき漸化式は何型?

等差型

階差数列と Σ

$a_{n+1}=a_n+f(n)$ 型

予習のすすめ

「階差をとる」「Σで戻す」の2ステップで処理する手順を、次回マスターします。