共通テスト数学対策講座

第4講

空間ベクトル入門

3次元への拡張 ── 怖くない

福岡先生 15分で得点源に変える

今日のゴール

Goals of this lecture

01

空間座標と成分表示を扱える

$(a_1, a_2, a_3)$ の3成分で、空間の点を表現

02

内積・大きさを空間で計算

平面と同じ公式が、項が1つ増えるだけで使える

03

空間における共面・共線条件

4点が同一平面上にある条件を判別できる

結論

平面ベクトルとの違いは「項が1つ増えるだけ」

成分表示

$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$

平面の $(a_1, a_2)$ に $z$ 成分が加わるだけ

大きさ:$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$

内積

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$

平面の式に $a_3 b_3$ が加わるだけ

$|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$ の式も同じ

基本

空間座標と位置ベクトル

COORDINATES IN 3D

点 $\mathrm{A}$ の位置ベクトル $\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$

$|\vec{a}| = \sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$

原点 $\mathrm{O}$ から点 $\mathrm{A}$ への大きさ(距離)。

覚え方: 平面の $\sqrt{a_1^2 + a_2^2}$ に、$a_3^2$ を足してルートを取るだけ。三平方の定理の3次元版。

内積

空間ベクトルの内積

DOT PRODUCT IN 3D

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

平面と同じ2通りの定義。空間でもそのまま成立。

使い方: 第1講と完全に同じ手順。$\cos\theta$ も垂直条件 $\vec{a}\cdot\vec{b}=0$ も平面と同様。3成分に増えるだけ。

比較

平面ベクトル ⇄ 空間ベクトル

PLANE (2D)

平面ベクトル

成分:$(a_1, a_2)$
内積:$a_1b_1 + a_2b_2$
大きさ:$\sqrt{a_1^2 + a_2^2}$
基底:$\vec{a}, \vec{b}$ の2本

SPACE (3D)

空間ベクトル

成分:$(a_1, a_2, a_3)$
内積:$a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$
大きさ:$\sqrt{a_1^2 + a_2^2 + a_3^2}$
基底:$\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ の3本

▸ 結論: 公式は項が1つ増えるだけ。新しいルールは何もない。

実戦演習 ①

空間内の2ベクトルのなす角

EXAMPLE

$\vec{a} = (1, 2, 2)$, $\vec{b} = (2, 1, -2)$ のなす角 $\theta$ を求めよ。

1

内積を計算

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1\cdot 2 + 2\cdot 1 + 2\cdot(-2) = 0$

2

内積が $0$ → 垂直

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ より $\vec{a} \perp \vec{b}$

3

結論

$\theta = 90°$

空間特有 ── 重要

4点が同一平面上にある条件

COPLANAR CONDITION

点 $\mathrm{P}$ が3点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ の定める平面上 $\iff$

$\overrightarrow{\mathrm{AP}} = s\,\overrightarrow{\mathrm{AB}} + t\,\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}, \overrightarrow{\mathrm{AC}}$ の1次結合で書ければ平面上

頻出パターン: 「点 $\mathrm{P}$ が平面 $\mathrm{ABC}$ 上にある」と問われたら、$\overrightarrow{\mathrm{AP}} = s\overrightarrow{\mathrm{AB}} + t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ とおく。共線条件の3次元拡張版。

応用

$\mathrm{O}$ を始点にすると ── 係数の和=1

例文

$\overrightarrow{\mathrm{OP}} = r\vec{a} + s\vec{b} + t\vec{c}$ で $r+s+t=1$

【意味】点 $\mathrm{P}$ が3点 $\mathrm{A}, \mathrm{B}, \mathrm{C}$ の作る平面上にある条件

使い方の核心

直線上の条件 $s+t=1$ の3次元拡張
4点が同一平面上にある判定で使う
係数比較の問題で必須 ── 反射で「和=1」をチェック

整理

空間ベクトル ── 3つの頻出設定

共通テストで狙われる空間ベクトル問題のパターン

いずれも平面ベクトルの拡張として理解

頻出設定

1

直方体

辺・対角線の長さ、なす角を内積で処理

2

四面体

体積・重心、点が面上にある条件

3

正八面体

対称性を利用、直交関係を内積で示す

実戦演習

共通テスト形式で確認

問 $\vec{a} = (1, -1, 2)$ の大きさ $|\vec{a}|$ の値は?

① $\sqrt{4}$

② $\sqrt{6}$ ◀ 正解

③ $\sqrt{8}$

④ $3$

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{1+1+4} = \sqrt{6}$。

本日のチェックリスト

反射で答えられたら習得完了

✓

空間ベクトルの大きさは?

$\sqrt{a_1^2+a_2^2+a_3^2}$

✓

空間内積の成分式は?

$a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3$

✓

空間で $\vec{a}\perp\vec{b}$ の条件は?

内積 $= 0$

✓

同一平面上の条件は?

$s\overrightarrow{\mathrm{AB}}+t\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ で表現

✓

$\mathrm{O}$ を始点、平面 $\mathrm{ABC}$ 上の条件?

係数の和 $=1$

数列の基礎

等差・等比・和の公式

予習のすすめ

等差数列・等比数列の一般項と和の公式を確認しておくと、次回がスムーズです。