共通テスト数学対策講座

第3講

ベクトル方程式
と直線

媒介変数・共線条件 ── 図形問題の言語

福岡先生 15分で得点源に変える

今日のゴール

Goals of this lecture

01

直線のベクトル方程式を書ける

$\vec{p} = \vec{a} + t\vec{d}$ を、図形問題に応じて使い分け

02

共線条件を瞬時に判定

3点が同一直線上 ⇔ $\overrightarrow{\mathrm{AB}} = k\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

03

媒介変数で交点を求める

2直線の交点を、係数比較で機械的に処理

結論

直線を「ベクトル」で表す

媒介変数表示

$\vec{p} = \vec{a} + t\vec{d}$

$\vec{a}$=通過点 / $\vec{d}$=方向ベクトル / $t$=実数

点 $\mathrm{A}$ を通り $\vec{d}$ に平行な直線

2点を通る直線

$\vec{p} = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}$

$\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ を通る直線。$t=0$ で $\mathrm{A}$、$t=1$ で $\mathrm{B}$

内分・外分の延長として理解

基本形 ①

直線の媒介変数表示

PARAMETRIC FORM

点 $\mathrm{A}(\vec{a})$ を通り、方向ベクトル $\vec{d}$ をもつ直線:

$\vec{p} = \vec{a} + t\vec{d}$

$t$ は実数。$t$ を変えると、直線上のすべての点を表せる。

視覚的に: 点 $\mathrm{A}$ から $\vec{d}$ の方向に $t$ 倍進んだ位置が点 $\mathrm{P}$。$t$ が正なら正方向、負なら反対方向へ。

基本形 ②

2点を通る直線

TWO POINTS FORM

2点 $\mathrm{A}(\vec{a})$, $\mathrm{B}(\vec{b})$ を通る直線:

$\vec{p} = (1-t)\vec{a} + t\vec{b}$

$t=0 \Rightarrow$ 点 $\mathrm{A}$ / $t=1 \Rightarrow$ 点 $\mathrm{B}$ / $t=1/2 \Rightarrow$ 中点

覚え方: 内分点の公式 $\dfrac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}$ で $m+n=1$ とおき、$m=t$ とすれば $(1-t)\vec{a}+t\vec{b}$。第2講と地続き。

最重要 ── 共通テスト超頻出

共線条件 ── 3点が同一直線上

COLLINEAR CONDITION

3点 $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$, $\mathrm{C}$ が同一直線上 $\iff$

$\overrightarrow{\mathrm{AB}} = k\,\overrightarrow{\mathrm{AC}}$ となる実数 $k$ が存在

一方が他方の実数倍 = 平行 = 共線

頻出パターン: 「点 $\mathrm{P}$ が直線 $\mathrm{AB}$ 上にある」と問われたら、$\overrightarrow{\mathrm{AP}} = k\,\overrightarrow{\mathrm{AB}}$ とおく。これだけで未知数 $k$ を求めて完了。

実戦演習 ①

共線条件で点の位置を求める

EXAMPLE

三角形 $\mathrm{OAB}$ で $\overrightarrow{\mathrm{OA}}=\vec{a}, \overrightarrow{\mathrm{OB}}=\vec{b}$。$\mathrm{OA}$ の中点 $\mathrm{M}$、$\mathrm{OB}$ を $2:1$ に内分する点を $\mathrm{N}$ とし、$\mathrm{MN}$ と $\mathrm{AB}$ の交点を $\mathrm{P}$ とする。$\overrightarrow{\mathrm{OP}}$ を $\vec{a}, \vec{b}$ で表せ。

1

点 $\mathrm{M}, \mathrm{N}$ の位置ベクトル

$\overrightarrow{\mathrm{OM}} = \dfrac{1}{2}\vec{a}$, $\quad \overrightarrow{\mathrm{ON}} = \dfrac{2}{3}\vec{b}$

2

$\mathrm{P}$ を2通りで表して係数比較

$\mathrm{MN}$ 上 → $\overrightarrow{\mathrm{OP}} = \dfrac{1-s}{2}\vec{a} + \dfrac{2s}{3}\vec{b}$ / $\mathrm{AB}$ 上 → $\overrightarrow{\mathrm{OP}} = (1-t)\vec{a}+t\vec{b}$

3

連立して解く

$\dfrac{1-s}{2}=1-t$ と $\dfrac{2s}{3}=t$ から $s=\dfrac{3}{4}, t=\dfrac{1}{2}$ → $\overrightarrow{\mathrm{OP}} = \dfrac{1}{2}\vec{a} + \dfrac{1}{2}\vec{b}$

解法パターン

直線上の点を扱う2つの方法

METHOD A

媒介変数 1つで表す

$\overrightarrow{\mathrm{OP}} = \vec{a} + t\vec{d}$ や $\overrightarrow{\mathrm{OP}} = (1-t)\vec{a}+t\vec{b}$ など、未知数 $t$ 1つで表現。
→ 簡単だが2直線の交点には不向き。

METHOD B

係数比較で連立

同じ点 $\mathrm{P}$ を2通りで表し、$\vec{a}, \vec{b}$ の係数を比較して連立方程式に。
→ 交点問題の王道。共通テスト頻出。

▸ 鉄則: 同じベクトルを2通りで表したら、係数比較で連立。

重要定理

係数の和=1 ⇔ 直線上

例文

$\overrightarrow{\mathrm{OP}} = s\vec{a} + t\vec{b}$ で $s+t=1$

【意味】点 $\mathrm{P}$ が直線 $\mathrm{AB}$ 上にあることと同値

使い方の核心

$s+t=1$ の条件 ⇔ 点 $\mathrm{P}$ が直線 $\mathrm{AB}$ 上
内分・外分のすべてをカバーする条件
共通テストで「直線上にある条件」と問われたら反射で使う

実戦演習

共通テスト形式で確認

問 $\overrightarrow{\mathrm{OP}} = (k+1)\vec{a} + (2k-1)\vec{b}$ で点 $\mathrm{P}$ が直線 $\mathrm{AB}$ 上にあるような $k$ の値は?

① $k = 0$

② $k = \dfrac{1}{3}$ ◀ 正解

③ $k = \dfrac{1}{2}$

④ $k = 1$

直線 $\mathrm{AB}$ 上の条件は「係数の和=1」。$(k+1) + (2k-1) = 3k = 1$ より $k = \dfrac{1}{3}$。

本日のチェックリスト

反射で答えられたら習得完了

✓

直線の媒介変数表示は?

$\vec{p} = \vec{a} + t\vec{d}$

✓

2点を通る直線の表示は?

$(1-t)\vec{a} + t\vec{b}$

✓

共線条件は?

$\overrightarrow{\mathrm{AB}} = k\overrightarrow{\mathrm{AC}}$

✓

直線上にある条件は?

係数の和 $= 1$

✓

2直線の交点の求め方?

2通りで表して係数比較

空間ベクトル入門

3次元への拡張

予習のすすめ

空間でも、平面ベクトルの公式がそのまま使えます。$\vec{a} = (a_1, a_2, a_3)$ の3成分に慣れておくと早い。