共通テスト数学対策講座

第24講

漸化式の応用
連立・3項間

高難度漸化式の処理 ── 数IIB の最終ボス

福岡先生 15分で得点源に変える

今日のゴール

Goals of this lecture

01

連立漸化式を解く

$a_{n+1}, b_{n+1}$ が両方含まれるパターン

02

3項間漸化式を解く

$a_{n+2} = pa_{n+1} + qa_n$ の解法

03

特性方程式を応用

3項間の特性方程式と一般解の関係

結論

応用漸化式は「基本形に帰着」

連立型

2変数を含む

差や和で1変数化 → 等比に持ち込む

訳:変数を減らす

3項間

3つの項の関係

特性方程式の解で2つの等比に分解

訳:基本形2つに分解

連立漸化式

解法の基本

COUPLED RECURRENCE

$\begin{cases} a_{n+1} = pa_n + qb_n \\ b_{n+1} = ra_n + sb_n \end{cases}$

$\to$ 差 $a_n - b_n$ と和 $a_n + b_n$ で1変数化

2つの数列を「差」「和」など線形結合で組み合わせて、1つの数列の漸化式に帰着。

具体例 ①

$a_{n+1} = 3a_n + b_n, \ b_{n+1} = a_n + 3b_n$

1

和を考える

$a_{n+1} + b_{n+1} = 4a_n + 4b_n = 4(a_n + b_n)$

2

$s_n = a_n + b_n$ とおく

$s_{n+1} = 4 s_n$ ── 公比4の等比数列

3

差も同様に

$a_{n+1} - b_{n+1} = 2(a_n - b_n)$ → $d_n = a_n - b_n$ は公比2の等比

4

$a_n, b_n$ を求める

$a_n = (s_n + d_n)/2$、$b_n = (s_n - d_n)/2$ で復元

3項間漸化式

特性方程式の利用

THREE-TERM RECURRENCE

$a_{n+2} = p a_{n+1} + q a_n$

特性方程式:$x^2 = px + q$

解 $\alpha, \beta$ → $a_n = A\alpha^{\,n} + B\beta^{\,n}$

特性方程式の2解 $\alpha, \beta$ から、一般項は2つの等比の線形結合になる。

具体例 ②

フィボナッチ型 $a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$

1

特性方程式

$x^2 = x + 1$ → $x = \dfrac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$

2

2解を $\alpha, \beta$ とする

$\alpha = \dfrac{1+\sqrt{5}}{2}$(黄金比)、$\beta = \dfrac{1-\sqrt{5}}{2}$

3

一般項の形

$a_n = A\alpha^{\,n} + B\beta^{\,n}$

4

初期条件から $A, B$ を決める

$a_1 = 1, a_2 = 1$ から連立方程式を解いて $A, B$ を確定

判別チャート

漸化式 ── どのパターン?

連立漸化式

$a_n$ と $b_n$ が両方

2つの数列が相互に登場 → 線形結合(和・差)で1変数化。

3項間漸化式

$a_{n+2}, a_{n+1}, a_n$

同じ数列の3項 → 特性方程式の2解で等比に分解。

与えられた漸化式の形を見て、即パターン判定。

応用 ── 共通テスト頻出

漸化式の典型7パターン

基本3パターン + 階差 + 連立 + 3項間 + 特殊形

見たことのある形なら、解法は決まっている

応用パターン

1

基本3

等差・等比・$a_{n+1}=pa_n+q$

2

応用2

階差($n$ 含む)・連立

3

高度2

3項間・分数型($a_{n+1}=\frac{a_n}{1+a_n}$)

実戦演習

共通テスト形式で確認

問 $a_{n+2} = 5a_{n+1} - 6a_n$ の特性方程式の解は?

① $x = 1, 6$

② $x = 2, 3$ ◀ 正解

③ $x = -2, -3$

④ $x = 5, 6$

特性方程式 $x^2 = 5x - 6 \Rightarrow x^2 - 5x + 6 = 0 \Rightarrow (x-2)(x-3) = 0$。解は $x = 2, 3$ ── ②。

本日のチェックリスト

反射で答えられたら習得完了

✓

連立漸化式の解法は?

和・差で1変数化

✓

3項間の特性方程式は?

$x^2 = px + q$

✓

3項間の一般解の形は?

$A\alpha^n + B\beta^n$

✓

$A, B$ の決め方は?

初期条件 $a_1, a_2$ から

✓

フィボナッチ型は?

$a_{n+2} = a_{n+1} + a_n$

本番想定演習 ②

難問対策と思考プロセス

予習のすすめ

これまでの全25講の知識を総動員。難問への取り組み方を最終確認します。