共通テスト数学対策講座

第23講

置換積分と
部分積分

積分の2大テクニック ── 複雑な式を解く道具

福岡先生 15分で得点源に変える

今日のゴール

Goals of this lecture

01

置換積分の手順を完璧に

変数変換で複雑な式を簡単な式に

02

部分積分の公式を反射で

$\int u v' dx = uv - \int u' v \, dx$

03

どちらを使うか即判断

式の形を見て、最適なテクニックを選ぶ

結論

積分の2大テクニック

置換積分

変数を置き換える

$u = g(x)$ とおき、$du = g'(x) dx$ で置き換え

訳:複雑な式を単純化

部分積分

微分の積の逆

$\int u v' dx = uv - \int u' v \, dx$

訳:微分しやすい方を入れ替え

置換積分

基本公式

INTEGRATION BY SUBSTITUTION

$\int f(g(x)) g'(x) \, dx = \int f(u) \, du$

($u = g(x)$ と置く)

合成関数を見たら置換。$g(x)$ の微分が他にあれば成功のサイン。

具体例 ①

$\int 2x \sqrt{x^2+1} \, dx$ を計算

1

置換する

$u = x^2 + 1$ とおく → $du = 2x \, dx$

2

式を書き換え

$\int 2x\sqrt{x^2+1} \, dx = \int \sqrt{u} \, du$

3

積分計算

$\int u^{1/2} \, du = \dfrac{2}{3} u^{3/2} + C$

4

$u$ を戻す

$= \dfrac{2}{3} (x^2 + 1)^{3/2} + C$

部分積分

基本公式

INTEGRATION BY PARTS

$\int u \, dv = uv - \int v \, du$

$\int u(x) v'(x) \, dx = u(x) v(x) - \int u'(x) v(x) \, dx$

積の積分は「片方を微分、もう片方を積分」して入れ替える。

具体例 ②

$\int x e^x \, dx$ を計算

1

部分積分の準備

$u = x$, $v' = e^x$ → $u' = 1$, $v = e^x$

2

公式に代入

$\int x e^x \, dx = x e^x - \int 1 \cdot e^x \, dx$

3

残りの積分

$= x e^x - e^x + C = (x - 1) e^x + C$

使い分け

どちらを使う?

置換積分

合成関数 + 微分が見える

$f(g(x)) \cdot g'(x)$ の形 → 置換。$g'(x)$ が積分式に現れていれば成功。

部分積分

異種の関数の積

$x \cdot e^x$, $x \cdot \sin x$ など、多項式 × 指数・三角関数 → 部分積分。

式を見たら、まず「合成関数か積か」を判断。

部分積分の選び方

LIATE の優先順位

$u$ にする関数は「LIATE」の順で選ぶ

L(対数)・I(逆三角)・A(代数)・T(三角)・E(指数)の順

LIATEの順

1

L > A

$\int x \ln x \, dx$ なら $u = \ln x$

2

A > T

$\int x \sin x \, dx$ なら $u = x$

3

A > E

$\int x e^x \, dx$ なら $u = x$

実戦演習

共通テスト形式で確認

問 $\int x \cos x \, dx$ の値は?

① $x \sin x - \cos x + C$

② $x \sin x + \cos x + C$ ◀ 正解

③ $-x \sin x + \cos x + C$

④ $x \sin x \cdot \cos x + C$

部分積分 $u = x, v' = \cos x$ → $u' = 1, v = \sin x$。$\int x \cos x \, dx = x \sin x - \int \sin x \, dx = x \sin x + \cos x + C$ ── ②。

本日のチェックリスト

反射で答えられたら習得完了

✓

置換積分の公式は?

$\int f(g(x)) g'(x) dx$

✓

部分積分の公式は?

$\int u dv = uv - \int v du$

✓

合成関数を見たら?

置換

✓

異種の関数の積は?

部分積分

✓

LIATE のLは?

対数(Logarithm)

漸化式の応用 ── 連立・3項間

高難度漸化式の処理

予習のすすめ

基本の漸化式(第5・6講)を予習しておくと、応用パターンの理解が早まります。