共通テスト数学対策講座

第22講

微分の応用
増減・凹凸・グラフ

$f'$ と $f''$ でグラフが完全に描ける

福岡先生 15分で得点源に変える

今日のゴール

Goals of this lecture

01

増減表を反射で作成

$f'(x) = 0$ から増減を判定し、表を埋める

02

凹凸の概念を理解

$f''(x)$ の符号で曲線の凹凸が決まる

03

グラフを正確に描く

増減・凹凸・極値・変曲点をすべて反映

結論

$f'$ と $f''$ でグラフが見える

$f'$ で増減

1階微分

$f' > 0$:増加 / $f' < 0$:減少 / $f' = 0$:極値候補

訳:グラフの傾き

$f''$ で凹凸

2階微分

$f'' > 0$:下に凸 / $f'' < 0$:上に凸 / $f'' = 0$:変曲点候補

訳:グラフの曲がり方

基本

増減と $f'$ の関係

MONOTONIC

$f'(x) > 0$:$f$ は増加

$f'(x) < 0$:$f$ は減少

$f'(x) = 0$ で符号変化:極値

$f'$ の符号が +→- なら極大、-→+ なら極小。

応用

凹凸と $f''$ の関係

CONCAVITY

$f''(x) > 0$:下に凸(谷)

$f''(x) < 0$:上に凸(山)

$f''(x) = 0$ で符号変化:変曲点

$f''$ の符号が変わる点 = 凹凸が切り替わる点 = 変曲点。

具体例

$f(x) = x^3 - 3x^2$ のグラフを描く

1

$f'(x) = 0$ を解く

$f'(x) = 3x^2 - 6x = 3x(x - 2)$ → $x = 0, 2$

2

増減表を作る

$x < 0$:$f' > 0$(増加) / $0 < x < 2$:$f' < 0$(減少) / $x > 2$:$f' > 0$(増加)

3

極値を計算

$f(0) = 0$(極大値)、$f(2) = 8 - 12 = -4$(極小値)

4

$f''(x) = 6x - 6 = 0$ → $x = 1$ で変曲点

$f(1) = 1 - 3 = -2$。変曲点 $(1, -2)$

判定チャート

グラフ作図の3要素

極値

$f' = 0$ の解 + 符号変化

$f' > 0 \to < 0$ なら極大、$< 0 \to > 0$ なら極小。値も計算。

変曲点

$f'' = 0$ の解 + 符号変化

$f''$ の符号が変わる点で凹凸が切り替わる。値も計算。

極値と変曲点を押さえれば、グラフの骨格が完成。

応用問題

微分の応用 ── 共通テスト頻出パターン

増減・最大最小・接線 ── 微分の3大応用

出題されたら確実に得点できる単元

3大応用

1

最大・最小

定義域内で極値と端点を比較

2

グラフ作図

増減・凹凸・極値・変曲点で完成

3

不等式の証明

$f(x) > 0$ を増減から導く

実戦演習

共通テスト形式で確認

問 $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$ の変曲点の $x$ 座標は?

① $1$

② $2$ ◀ 正解

③ $3$

④ $0$

$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$、$f''(x) = 6x - 12 = 0 \Rightarrow x = 2$。変曲点の $x$ 座標は $2$ ── ②。

本日のチェックリスト

反射で答えられたら習得完了

✓

$f' > 0$ の意味は?

$f$ は増加

✓

極大の条件は?

$f'$ が $+ \to -$

✓

$f'' > 0$ の意味は?

下に凸

✓

変曲点とは?

$f''$ の符号変化点

✓

増減表の作り方は?

$f' = 0$ の解を境界に判定

置換積分と部分積分

積分の2大テクニック

予習のすすめ

基本の積分公式と微分の連鎖律を復習しておくと、次回の理解がスムーズです。