共通テスト数学対策講座

第21講

数列の極限と
無限級数

数IIIへの入口 ── 「無限」の世界を扱う

福岡先生 15分で得点源に変える

今日のゴール

Goals of this lecture

01

数列の極限を計算

$\lim_{n\to\infty}$ の基本的な処理を反射で

02

無限等比級数の和

$\sum a_n r^n = \dfrac{a_1}{1-r}$ ($|r|<1$)

03

収束 vs 発散を判定

極限が有限値=収束、$\infty$ or 振動=発散

結論

無限は「極限値」で扱う

数列の極限

$\lim_{n\to\infty} a_n$

$n \to \infty$ で $a_n$ が近づく値

訳:行き先の値

無限級数

$\sum_{n=1}^\infty a_n$

部分和 $S_n$ の極限値

訳:無限個の和

基本公式

極限の基本

LIMIT BASICS

$\lim_{n\to\infty} \dfrac{1}{n} = 0$

$\lim_{n\to\infty} r^n = 0 \quad (|r| < 1)$

$\lim_{n\to\infty} r^n = \infty \quad (r > 1)$

$|r| < 1$ なら0に収束、$r > 1$ なら無限大に発散 ── 等比の極限の鉄則。

具体例 ①

$\lim_{n\to\infty} \dfrac{2n^2 + 3n}{n^2 + 1}$ を計算

1

最高次の項で割る

分子・分母を $n^2$ で割る:$\dfrac{2 + 3/n}{1 + 1/n^2}$

2

$n\to\infty$ を適用

$\dfrac{3}{n} \to 0$, $\dfrac{1}{n^2} \to 0$

3

極限値

$\dfrac{2 + 0}{1 + 0} = 2$

無限等比級数

収束条件と和の公式

INFINITE GEOMETRIC SERIES

$\sum_{n=0}^\infty a r^n = \dfrac{a}{1-r} \quad (|r| < 1)$

$|r| \geq 1$ なら発散

$|r| < 1$ で収束、和は $\dfrac{初項}{1-公比}$ ── 公式は1つだけ覚えればよい。

具体例 ②

$1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{8} + \cdots$

1

初項と公比を特定

初項 $a = 1$、公比 $r = \dfrac{1}{2}$

2

収束条件チェック

$|r| = \dfrac{1}{2} < 1$ → 収束する

3

公式で和を計算

$S = \dfrac{1}{1 - 1/2} = \dfrac{1}{1/2} = 2$

収束 vs 発散

判別チャート

収束

$|r| < 1$ または有限値

極限が有限値に近づく。和の公式が使える。

発散

$|r| \geq 1$ または $\infty$

極限が無限大、または振動。和は定義されない。

$|r|$ と $1$ の大小だけで瞬時に判定 ── 公式を使う前に必ずチェック。

応用パターン

無限級数の3大シーン

等比級数 / 部分分数分解 / $\sum 1/n^k$ が頻出

形を見て即「どの公式か」を判断

3大シーン

1

等比級数

$\dfrac{a}{1-r}$ で一発

2

部分分数

$\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$ で打ち消し

3

$\sum 1/n^k$

$k>1$ で収束、$k=1$ は発散

実戦演習

共通テスト形式で確認

問無限級数 $\sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{3^n}$ の和は?

① $\dfrac{1}{2}$ ◀ 正解

② $\dfrac{1}{3}$

③ $\dfrac{2}{3}$

④ $1$

初項 $a = \dfrac{1}{3}$、公比 $r = \dfrac{1}{3}$ の等比級数。$S = \dfrac{1/3}{1 - 1/3} = \dfrac{1/3}{2/3} = \dfrac{1}{2}$ ── ①。

本日のチェックリスト

反射で答えられたら習得完了

✓

$\lim_{n\to\infty} 1/n$ は?

$0$

✓

$|r| < 1$ の等比級数は?

収束

✓

等比級数の和の公式は?

$\dfrac{a}{1-r}$

✓

$|r| \geq 1$ なら?

発散

✓

部分分数分解の例は?

$\dfrac{1}{n(n+1)}=\dfrac{1}{n}-\dfrac{1}{n+1}$

微分の応用 ── 増減・凹凸・グラフ

$f'$ と $f''$ でグラフが描ける

予習のすすめ

基本の微分 $(x^n)' = nx^{n-1}$ と増減判定を予習しておくと、次回スムーズです。