共通テスト数学対策講座

第19講

積分の応用
体積・回転体

面積から体積へ ── 数IIIへの橋渡し

福岡先生 15分で得点源に変える

今日のゴール

Goals of this lecture

01

体積=断面積の積分を理解

$V = \int_a^b S(x) dx$ の意味を把握

02

回転体の体積公式を反射で適用

$V = \pi \int_a^b \{f(x)\}^2 dx$

03

$x$ 軸 / $y$ 軸の回転を区別

回転軸でどちらの公式を使うか即判断

結論

体積=断面積を「足し上げる」

一般の体積

断面積の積分

$V = \int_a^b S(x) dx$

訳:薄い円盤の重ね合わせ

回転体

円の積分

$V = \pi \int_a^b \{f(x)\}^2 dx$

訳:回転で円ができる

基本公式

体積の一般式

VOLUME BY CROSS SECTION

$V = \int_a^b S(x) \, dx$

($S(x)$ は $x$ における断面積)

体積=「薄い断面を全部足す」の積分版。断面積さえ求まれば体積はすぐ。

回転体

$x$ 軸まわりの回転体

SOLID OF REVOLUTION (x-axis)

$y = f(x)$ を $x$ 軸まわりに回転:

$V = \pi \int_a^b \{f(x)\}^2 \, dx$

回転で断面が円になる → 半径 $f(x)$ の円の面積 $\pi\{f(x)\}^2$ を積分。

具体例 ①

$y = x$ を $x = 0, x = 2$ で区切り $x$ 軸まわりに回転

1

回転体の公式に代入

$V = \pi \int_0^2 x^2 \, dx$

2

積分計算

$\int_0^2 x^2 \, dx = \left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^2 = \dfrac{8}{3}$

3

体積

$V = \pi \cdot \dfrac{8}{3} = \dfrac{8\pi}{3}$ ── これは「底面の半径2、高さ2の円錐」と一致

応用

$y$ 軸まわりの回転体

SOLID OF REVOLUTION (y-axis)

$x = g(y)$ を $y$ 軸まわりに回転:

$V = \pi \int_c^d \{g(y)\}^2 \, dy$

$y$ 軸まわりは「$x$ を $y$ の関数として表す」が前提。$x$ 軸の公式と対称。

使い分け

$x$ 軸まわり vs $y$ 軸まわり

$x$ 軸まわり

$y = f(x)$ で与えられた

半径 $f(x)$、$x$ で積分。$V = \pi \int \{f(x)\}^2 dx$。

$y$ 軸まわり

$x = g(y)$ に直してから

半径 $g(y)$、$y$ で積分。$V = \pi \int \{g(y)\}^2 dy$。

回転軸まわりに「円の断面ができる」── どちらも同じ発想。

具体例 ②

$y = x^2, \ 0 \leq x \leq 1$ を $x$ 軸まわりに回転

1

公式に代入

$V = \pi \int_0^1 (x^2)^2 \, dx = \pi \int_0^1 x^4 \, dx$

2

積分

$\int_0^1 x^4 \, dx = \left[\dfrac{x^5}{5}\right]_0^1 = \dfrac{1}{5}$

3

体積

$V = \pi \cdot \dfrac{1}{5} = \dfrac{\pi}{5}$

応用パターン

体積問題の3大シーン

断面積問題 / 回転体 / 円柱・球の体積が3大頻出

計算する前に「どの公式か」を即決すること

3大シーン

1

断面積与えられ

$\int S(x) dx$ をそのまま計算

2

回転体($x$軸)

$\pi \int f(x)^2 dx$

3

回転体($y$軸)

$\pi \int g(y)^2 dy$

実戦演習

共通テスト形式で確認

問 $y = \sqrt{x}, \ 0 \leq x \leq 4$ を $x$ 軸まわりに回転した立体の体積は?

① $2\pi$

② $4\pi$

③ $8\pi$ ◀ 正解

④ $16\pi$

$V = \pi \int_0^4 (\sqrt{x})^2 dx = \pi \int_0^4 x \, dx = \pi \left[\dfrac{x^2}{2}\right]_0^4 = \pi \cdot 8 = 8\pi$ ── ③。

本日のチェックリスト

反射で答えられたら習得完了

✓

体積の一般式は?

$\int S(x) dx$

✓

$x$ 軸回転の公式は?

$\pi \int f(x)^2 dx$

✓

$y$ 軸回転の公式は?

$\pi \int g(y)^2 dy$

✓

回転体の断面は何?

円

✓

半径 $f(x)$ の円の面積は?

$\pi f(x)^2$

共通テスト本番想定演習

60分一本勝負

予習のすすめ

次回はラスト ── ここまで19講で学んだ全てを総動員する実戦演習です。