共通テスト数学対策講座

第18講

高次方程式と
解と係数の関係

因数分解 + 解の対称式 ── 数IIの定番

福岡先生 15分で得点源に変える

今日のゴール

Goals of this lecture

01

因数定理で解を見つける

$P(a) = 0 \Leftrightarrow (x-a)$ で割り切れる

02

解と係数の関係を反射で使う

解の和・積から係数を逆算

03

対称式の値を計算

$\alpha + \beta, \alpha\beta$ から $\alpha^2 + \beta^2$ などを導出

結論

解と係数は表裏一体

因数定理

解を見つける道具

$P(a) = 0$ なら $(x - a)$ が因数

訳:代入して 0 なら因数

解と係数

解の和・積で表す

$\alpha + \beta = -b/a, \ \alpha\beta = c/a$

訳:係数から解の対称式

基本定理

因数定理

FACTOR THEOREM

$P(a) = 0 \iff (x - a)$ が $P(x)$ の因数

$\Rightarrow P(x) = (x - a) Q(x)$

$a$ に何かを代入して 0 になれば、$(x - a)$ で因数分解できる。

具体例 ①

$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = 0$ を解く

1

簡単な値を試す

$x = 1$ を代入 → $1 - 6 + 11 - 6 = 0$ ✓ 因数 $(x - 1)$ あり

2

因数分解(割り算)

$x^3 - 6x^2 + 11x - 6 = (x - 1)(x^2 - 5x + 6)$

3

残りを因数分解

$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)$

4

解

$(x - 1)(x - 2)(x - 3) = 0 \Rightarrow x = 1, 2, 3$

2次方程式

解と係数の関係 ── 基本形

VIETA'S FORMULAS (2nd)

$ax^2 + bx + c = 0$ の解 $\alpha, \beta$ について:

$\alpha + \beta = -\dfrac{b}{a}$

$\alpha\beta = \dfrac{c}{a}$

解を実際に求めなくても、和と積が一発でわかる。

3次方程式

解と係数の関係 ── 3次

VIETA'S FORMULAS (3rd)

$ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ の解 $\alpha, \beta, \gamma$ について:

$\alpha + \beta + \gamma = -\dfrac{b}{a}$

$\alpha\beta + \beta\gamma + \gamma\alpha = \dfrac{c}{a}$

$\alpha\beta\gamma = -\dfrac{d}{a}$

3次にも対応版がある。和・積・3つ目の対称式まで取れる。

対称式の活用

対称式の3パターン

$\alpha^2 + \beta^2$

二乗和

$(\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$。和と積で表せる。

$\alpha^3 + \beta^3$

三乗和

$(\alpha + \beta)^3 - 3\alpha\beta(\alpha + \beta)$。同じく和と積で表せる。

対称式は必ず「和」と「積」で表せる ── 解を求めずに値が出せる。

具体例 ②

$x^2 - 5x + 3 = 0$ の解 $\alpha, \beta$ に対して $\alpha^2 + \beta^2$

1

解と係数の関係

$\alpha + \beta = 5, \ \alpha\beta = 3$

2

対称式を変形

$\alpha^2 + \beta^2 = (\alpha + \beta)^2 - 2\alpha\beta$

3

代入

$= 5^2 - 2 \cdot 3 = 25 - 6 = 19$

実戦演習

共通テスト形式で確認

問 $x^2 - 3x + 1 = 0$ の解 $\alpha, \beta$ について $\alpha^2 + \beta^2$ の値は?

① $5$

② $7$ ◀ 正解

③ $9$

④ $11$

$\alpha + \beta = 3, \alpha\beta = 1$。$\alpha^2 + \beta^2 = 3^2 - 2 \cdot 1 = 7$ ── ②。

本日のチェックリスト

反射で答えられたら習得完了

✓

因数定理の主張は?

$P(a)=0 \Leftrightarrow (x-a)$ が因数

✓

2次の解の和は?

$-b/a$

✓

2次の解の積は?

$c/a$

✓

$\alpha^2 + \beta^2$ の式は?

$(\alpha+\beta)^2 - 2\alpha\beta$

✓

3次の解の積は?

$-d/a$

積分の応用

体積・回転体

予習のすすめ

基本の定積分 $\int_a^b f(x) dx$ を確認しておくと、次回の体積計算がスムーズです。