共通テスト数学対策講座

第17講

二次関数の
最大・最小

平方完成と場合分け ── 数Iの基本にして頂点

福岡先生 15分で得点源に変える

今日のゴール

Goals of this lecture

01

平方完成を反射で適用

$ax^2+bx+c \to a(x-p)^2+q$ を機械的に変形

02

頂点・軸を瞬時に読み取る

平方完成すれば頂点 $(p, q)$ と軸 $x=p$ が見える

03

定義域指定で最大最小を判別

頂点が定義域内か外かで場合分け

結論

二次関数は「頂点」と「定義域」で決まる

頂点

平方完成で見つける

$y = a(x-p)^2 + q$ の $(p, q)$

訳:山か谷の位置

定義域

範囲指定

頂点が範囲内 or 外で最大最小が変わる

訳:場合分けが必要

基本操作

平方完成の手順

COMPLETING THE SQUARE

$ax^2 + bx + c$

$= a\left(x^2 + \dfrac{b}{a}x\right) + c$

$= a\left(x + \dfrac{b}{2a}\right)^2 - \dfrac{b^2}{4a} + c$

$x$ の係数の半分を2乗して引く。これが全ての二次関数操作の起点。

具体例 ①

$y = x^2 - 6x + 5$ を平方完成

1

$x$ の係数の半分を取る

$-6 \div 2 = -3$

2

$(x - 3)^2$ を作って引き算

$x^2 - 6x = (x-3)^2 - 9$

3

元の式に代入

$y = (x-3)^2 - 9 + 5 = (x-3)^2 - 4$

4

頂点と軸を読み取る

頂点 $(3, -4)$、軸 $x = 3$。下に凸($a > 0$)のグラフ。

頂点・軸

平方完成からわかる4つの情報

WHAT YOU GET

$y = a(x - p)^2 + q$ から:

① 頂点 $(p, q)$

② 軸 $x = p$

③ $a > 0$ なら下に凸、$a < 0$ なら上に凸

4つの情報がすぐに出る ── これだけで二次関数のグラフが描ける。

最大最小の判定

定義域指定での場合分け

頂点が定義域内

頂点が最大 or 最小

下に凸なら頂点が最小値、上に凸なら頂点が最大値。

頂点が定義域外

端点で最大最小

定義域の両端の値を計算 → 大きい方が最大、小さい方が最小。

まず頂点が定義域内か外かをチェック ── これで分岐が決まる。

具体例 ②

$y = x^2 - 4x + 1, \ 0 \leq x \leq 3$ の最大最小

1

平方完成

$y = (x - 2)^2 - 3$ ── 頂点 $(2, -3)$、軸 $x = 2$、下に凸

2

頂点が定義域内?

$2 \in [0, 3]$ ── 内なので頂点が最小値

3

最小値

$x = 2$ で $y = -3$ ── 最小値 $-3$

4

最大値は端点で比較

$y(0) = 1, \ y(3) = 9 - 12 + 1 = -2$。よって $x = 0$ で最大値 $1$。

応用パターン

軸が動く場合 ── 場合分けの3パターン

$y = (x - a)^2 + 1$ のように軸 $a$ が変数のときの最大最小

$a$ の値による3つのケースに分けて判定する

3つの場合分け

1

軸 < 範囲の左端

左端で最小値

2

軸が範囲内

頂点で最小値

3

軸 > 範囲の右端

右端で最小値

実戦演習

共通テスト形式で確認

問 $y = -x^2 + 4x - 1, \ 1 \leq x \leq 4$ の最大値は?

① $1$

② $2$

③ $3$ ◀ 正解

④ $4$

$y = -(x-2)^2 + 3$。頂点 $(2, 3)$、上に凸。$2 \in [1, 4]$ なので頂点が最大値。最大値は $3$ ── ③。

本日のチェックリスト

反射で答えられたら習得完了

✓

平方完成の式変形は?

$a(x-p)^2 + q$

✓

頂点の座標は?

$(p, q)$

✓

軸の方程式は?

$x = p$

✓

$a > 0$ なら?

下に凸

✓

頂点が範囲外のとき最大最小は?

端点で判定

高次方程式・解と係数

因数分解と解の対称性

予習のすすめ

因数定理と解と係数の関係を予習しておくと、3次方程式の処理が楽になります。