共通テスト数学対策講座

第16講

三角比と図形
正弦定理・余弦定理

数Iの核心 ── 図形と三角比をつなぐ2大定理

福岡先生 15分で得点源に変える

今日のゴール

Goals of this lecture

01

三角比の定義を完璧に

直角三角形での $\sin, \cos, \tan$ を反射で書く

02

正弦定理・余弦定理を使い分け

与えられた条件で「どちらを使うか」を即判断

03

面積公式を反射で適用

$S = \dfrac{1}{2} ab \sin C$ で三角形の面積を一発

結論

2大定理で三角形は全て解ける

正弦定理

角と対辺の比

$\dfrac{a}{\sin A} = 2R$ ── 外接円の直径

訳:角→辺の変換

余弦定理

3辺と1角

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

訳:辺→角の変換

基本定義

三角比 ── 直角三角形での定義

TRIGONOMETRIC RATIO

$\sin\theta = \dfrac{\text{対辺}}{\text{斜辺}}$

$\cos\theta = \dfrac{\text{隣辺}}{\text{斜辺}}$

$\tan\theta = \dfrac{\text{対辺}}{\text{隣辺}} = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}$

「サインは対辺/斜辺」など、語呂で覚えるのが一番速い。

頻出値

30°・45°・60° の三角比

SPECIAL ANGLES

$\sin 30° = \dfrac{1}{2}, \ \cos 30° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \ \tan 30° = \dfrac{1}{\sqrt{3}}$

$\sin 45° = \cos 45° = \dfrac{\sqrt{2}}{2}, \ \tan 45° = 1$

$\sin 60° = \dfrac{\sqrt{3}}{2}, \ \cos 60° = \dfrac{1}{2}, \ \tan 60° = \sqrt{3}$

この9個の値は反射で出せること。共通テストでは計算の途中で必ず使う。

正弦定理

正弦定理 ── 角と対辺の比

LAW OF SINES

$\dfrac{a}{\sin A} = \dfrac{b}{\sin B} = \dfrac{c}{\sin C} = 2R$

($R$ は外接円の半径)

辺と対角がペア。1つの組がわかれば他も求まる。外接円の半径も同時に。

余弦定理

余弦定理 ── 3辺と1角の関係

LAW OF COSINES

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc\cos A$

$\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

3辺がわかれば角が、2辺と挟む角がわかれば残りの辺が出る ── 万能定理。

使い分け

どちらを使う?── 判別チャート

正弦定理を使う

辺と対角のペアがある

「$a$ と $A$」のペアが与えられた / 外接円の情報がある → 正弦定理。

余弦定理を使う

3辺 / 2辺と挟む角

3辺がすべて分かる / 2辺と挟む角(挟まれた角)が分かる → 余弦定理。

与えられた情報の「組」を見れば、どちらの定理を使うかが即決。

具体例

三角形 ABC で $a=7, b=5, c=3$ のとき $\cos A$

1

3辺がわかる → 余弦定理

$\cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

2

値を代入

$\cos A = \dfrac{25 + 9 - 49}{2 \cdot 5 \cdot 3} = \dfrac{-15}{30}$

3

計算

$\cos A = -\dfrac{1}{2}$ ── つまり $A = 120°$

面積公式

三角形の面積 ── 共通テスト超頻出

AREA OF TRIANGLE

$S = \dfrac{1}{2} ab\sin C$

($a, b$ は2辺、$C$ はその挟む角)

2辺と挟む角だけで面積が一発。高さを求める必要なし。

実戦演習

共通テスト形式で確認

問三角形ABCで $a = 6, b = 4, C = 60°$ のとき、三角形の面積は?

① $6\sqrt{3}$ ◀ 正解

② $12$

③ $6$

④ $12\sqrt{3}$

面積公式 $S = \dfrac{1}{2} ab\sin C = \dfrac{1}{2} \cdot 6 \cdot 4 \cdot \sin 60° = 12 \cdot \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ ── ①。

本日のチェックリスト

反射で答えられたら習得完了

✓

$\sin 60°$ の値は?

$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$

✓

正弦定理の式は?

$\dfrac{a}{\sin A} = 2R$

✓

余弦定理 $a^2$ は?

$b^2+c^2-2bc\cos A$

✓

面積公式は?

$\dfrac{1}{2}ab\sin C$

✓

3辺がわかれば何を使う?

余弦定理

二次関数の最大・最小

平方完成と場合分け

予習のすすめ

平方完成 $ax^2+bx+c = a(x-p)^2+q$ を予習しておくと、次回が一気に楽になります。