共通テスト数学対策講座

第13講

図形と方程式
円・接線・距離

座標平面で図形を式で表す ── 解析幾何の入口

福岡先生 15分で得点源に変える

今日のゴール

Goals of this lecture

01

円の方程式を変形

$x^2+y^2+ax+by+c=0$ ↔ 標準形

02

点と直線の距離公式

$d = \dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$ を反射で適用

03

円の接線を作る

中心と接点の方向ベクトルで方程式を立てる

結論

図形=方程式 ── 代数で幾何を解く

円の方程式

$(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$

中心 $(a,b)$、半径 $r$

訳:標準形が基本

点と直線

距離公式

$d = \dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

訳:垂線の長さ

円の方程式

2つの形を変換できるように

CIRCLE EQUATION

【標準形】 $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$

【一般形】 $x^2 + y^2 + lx + my + n = 0$

$\Leftrightarrow \left(x+\dfrac{l}{2}\right)^2 + \left(y+\dfrac{m}{2}\right)^2 = \dfrac{l^2+m^2}{4} - n$

一般形 → 標準形は「平方完成」。中心と半径を読み取る。

具体例 ①

$x^2+y^2-4x+6y+3=0$ の中心と半径

1

$x$ について平方完成

$x^2 - 4x = (x-2)^2 - 4$

2

$y$ について平方完成

$y^2 + 6y = (y+3)^2 - 9$

3

整理

$(x-2)^2 + (y+3)^2 = 4 + 9 - 3 = 10$ ── 中心 $(2, -3)$、半径 $\sqrt{10}$

距離の公式

点と直線の距離

POINT-LINE DISTANCE

点 $(x_0, y_0)$ と直線 $ax + by + c = 0$ の距離:

$d = \dfrac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$

距離公式は「式に代入 → 絶対値 → 分母で割る」の3ステップ。共通テスト超頻出。

具体例 ②

点 $(3, 4)$ から直線 $3x - 4y + 5 = 0$ までの距離

1

公式に代入

$a = 3, b = -4, c = 5, (x_0, y_0) = (3, 4)$

2

分子を計算

$|3 \cdot 3 + (-4) \cdot 4 + 5| = |9 - 16 + 5| = |-2| = 2$

3

分母を計算

$\sqrt{3^2 + (-4)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

4

距離

$d = \dfrac{2}{5}$

円の接線

接線の方程式

TANGENT TO CIRCLE

円 $x^2 + y^2 = r^2$ 上の点 $(x_0, y_0)$ での接線:

$x_0 x + y_0 y = r^2$

原点中心の円の接線公式。$x^2 \to x_0 x$、$y^2 \to y_0 y$ と機械的に置き換える。

応用

円と直線の位置関係 ── 3パターン

判別法

距離 vs 半径で判定

中心と直線の距離 $d$ を計算し、$d$ と半径 $r$ を比較。

結論

$d < r$ / $d = r$ / $d > r$

$d < r$:2点で交わる / $d = r$:接する / $d > r$:離れる

判別式を解く必要なし ── 距離公式1発で位置関係が分かる。

実戦演習

共通テスト形式で確認

問円 $x^2 + y^2 = 25$ 上の点 $(3, 4)$ における接線の方程式は?

① $3x + 4y = 25$ ◀ 正解

② $3x - 4y = 25$

③ $x + y = 7$

④ $4x + 3y = 25$

接線公式 $x_0 x + y_0 y = r^2$ に $(x_0, y_0) = (3, 4)$, $r^2 = 25$ を代入:$3x + 4y = 25$ ── ①。

本日のチェックリスト

反射で答えられたら習得完了

✓

円の標準形は?

$(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$

✓

距離公式は?

$\dfrac{|ax_0+by_0+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}$

✓

一般形 → 標準形の手順は?

平方完成

✓

原点中心の接線公式は?

$x_0 x + y_0 y = r^2$

✓

$d < r$ の意味は?

直線と円が2点で交わる

整数の性質

剰余・互除法・合同式

予習のすすめ

ユークリッドの互除法を一度復習しておくと、次回スムーズに進みます。