共通テスト数学対策講座

第12講

三角関数の合成
と方程式

$a\sin\theta + b\cos\theta$ を1つの関数に

福岡先生 15分で得点源に変える

今日のゴール

Goals of this lecture

01

合成公式を反射で適用

$a\sin\theta + b\cos\theta = r\sin(\theta + \alpha)$

02

加法定理を完全暗記

$\sin(\alpha + \beta)$ などの基本6公式

03

三角方程式を解く

範囲指定+合成で解の個数を確実に判定

結論

合成 = 2つの三角関数を1つに統合

合成公式

$a\sin + b\cos$ を統合

$r = \sqrt{a^2+b^2}$, $\tan\alpha = b/a$

訳:1つの $\sin$ に

加法定理

足し算の三角関数

$\sin(\alpha\pm\beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$

訳:展開・統合の両方向

加法定理

基本6公式 ── これは絶対

ADDITION FORMULAS

$\sin(\alpha \pm \beta) = \sin\alpha\cos\beta \pm \cos\alpha\sin\beta$

$\cos(\alpha \pm \beta) = \cos\alpha\cos\beta \mp \sin\alpha\sin\beta$

$\tan(\alpha \pm \beta) = \dfrac{\tan\alpha \pm \tan\beta}{1 \mp \tan\alpha\tan\beta}$

符号の組み合わせに注意:cos の方は ∓(マイナスが入れ替わる)。

合成公式

合成 ── 共通テスト超頻出

COMPOSITION

$a\sin\theta + b\cos\theta = r\sin(\theta + \alpha)$

$r = \sqrt{a^2 + b^2}$

$\cos\alpha = \dfrac{a}{r}, \ \sin\alpha = \dfrac{b}{r}$

$\alpha$ は $\tan\alpha = b/a$ から求める。値域は $-r \leq y \leq r$ になる。

具体例 ①

$\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$ を合成

1

$r$ を計算

$r = \sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$

2

$\alpha$ を求める

$\cos\alpha = \dfrac{1}{2}, \sin\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow \alpha = \dfrac{\pi}{3}$

3

合成完了

$\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta = 2\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{3}\right)$

応用

合成の効果 ── 最大値・最小値が一目

合成前

$\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$

最大・最小がすぐに見えない。微分が必要になることも。

合成後

$2\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{3}\right)$

$\sin$ の値域は $[-1, 1]$ なので、式全体の値域は $[-2, 2]$。一発で最大・最小が出る。

合成は「複雑な三角関数を $\sin$ の単純形に」変える強力な武器。

具体例 ②

$2\sin\theta - 2\cos\theta = \sqrt{2}$ を解く

1

合成する

$2\sin\theta - 2\cos\theta = 2\sqrt{2}\sin\left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right)$

2

方程式を整理

$2\sqrt{2}\sin\left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right) = \sqrt{2} \Rightarrow \sin\left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{1}{2}$

3

$\sin = 1/2$ を解く

$\theta - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{6}$ または $\dfrac{5\pi}{6}$ より $\theta = \dfrac{5\pi}{12}$ または $\dfrac{13\pi}{12}$($0 \leq \theta < 2\pi$)

三角方程式の解き方

3ステップで完了

合成 → 範囲調整 → 解の特定の流れ

範囲指定が解の個数を決定する

解法フロー

1

Step 1

$a\sin + b\cos$ なら合成

2

Step 2

$\sin / \cos$ の値から候補角を出す

3

Step 3

範囲指定で解を絞る

実戦演習

共通テスト形式で確認

問 $f(\theta) = \sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta$ の最大値は?

① $1$

② $\sqrt{3}$

③ $2$ ◀ 正解

④ $\sqrt{2}$

合成で $f(\theta) = 2\sin(\theta + \pi/3)$。$\sin$ の最大値は $1$ なので、$f$ の最大値は $2$ ── ③。

本日のチェックリスト

反射で答えられたら習得完了

✓

合成の係数 $r$ は?

$\sqrt{a^2 + b^2}$

✓

$\sin(\alpha+\beta)$ は?

$\sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$

✓

$\cos(\alpha+\beta)$ は?

$\cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$

✓

合成後の値域は?

$[-r, r]$

✓

$\tan\alpha$ の式は?

$b/a$

図形と方程式

円・接線・距離

予習のすすめ

円の方程式 $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ を復習しておくと、次回楽になります。