共通テスト数学対策講座

第11講

指数・対数関数
公式の連鎖

$e$ と $\log$ の世界 ── 指数と対数は表裏一体

福岡先生 15分で得点源に変える

今日のゴール

Goals of this lecture

01

指数法則を完全暗記

$a^{m+n} = a^m a^n$ など5つの法則を反射で出す

02

対数の定義を理解

$\log_a b = c \iff a^c = b$

03

指数 ↔ 対数の変換を高速化

式変形で問題を解きやすい形に持ち込む

結論

指数と対数は同じものを違う角度から見る

指数

$a^x$ の形

底 $a$ を $x$ 回掛ける(の連続版)

訳:倍々で増減

対数

$\log_a b$

$a^x = b$ となる $x$ を返す

訳:何乗かを聞く

指数法則

5つの公式 ── これは絶対

EXPONENT LAWS

$a^{m+n} = a^m \cdot a^n$

$a^{m-n} = \dfrac{a^m}{a^n}$

$(a^m)^n = a^{mn}$

$(ab)^n = a^n b^n$

$a^0 = 1, \ a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$

5つの公式で指数の計算は全て解ける。逆に、これを覚えていないと1問も解けない。

対数の公式

対数の5法則

LOGARITHM LAWS

$\log_a(MN) = \log_a M + \log_a N$

$\log_a \dfrac{M}{N} = \log_a M - \log_a N$

$\log_a M^p = p \log_a M$

$\log_a a = 1, \ \log_a 1 = 0$

底変換:$\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$

掛け算 → 足し算、累乗 → 倍数 ── 対数の最大のメリット。

具体例 ①

$\log_2 24 - \log_2 3$ を計算

1

対数の差 → 商

$\log_2 24 - \log_2 3 = \log_2 \dfrac{24}{3} = \log_2 8$

2

$8 = 2^3$ に書き換え

$\log_2 8 = \log_2 2^3 = 3 \log_2 2$

3

$\log_2 2 = 1$

$3 \cdot 1 = 3$

指数 ↔ 対数

式変形の双方向

指数 → 対数

指数方程式を対数で解く

$2^x = 8 \Rightarrow x = \log_2 8 = 3$ ── 指数の値を対数で表す。

対数 → 指数

対数方程式を指数で解く

$\log_3 x = 4 \Rightarrow x = 3^4 = 81$ ── 対数の定義を逆に使う。

指数と対数は逆関数 ── 同じ事実を反対から見ている。

具体例 ②

$\log_2 x = 3$ を解く

1

対数の定義を使う

$\log_a b = c \iff a^c = b$ より $2^3 = x$

2

計算

$x = 2^3 = 8$

応用 ── 底の変換

底変換公式の使い方

BASE CHANGE

$\log_a b = \dfrac{\log_c b}{\log_c a}$

通常 $c = 10$ または $c = e$ に統一

違う底の対数を1つの底にまとめると、計算が一気に楽になる。

頻出パターン

共通テスト指数・対数の3大シーン

指数方程式 / 不等式 / 桁数判定が3大頻出

形を見たら、即どのパターンか判断

3大シーン

1

指数方程式

両辺を同じ底に揃える

2

不等式

底が1より大きいか小さいかで不等号の向きを判定

3

桁数

$\log_{10}$ を使う ── $10^n$ の指数で桁が決まる

実戦演習

共通テスト形式で確認

問 $\log_2 6 - \log_2 3 + \log_2 4$ を計算せよ。

① $2$

② $3$ ◀ 正解

③ $4$

④ $\log_2 12$

$\log_2 6 - \log_2 3 + \log_2 4 = \log_2 \dfrac{6}{3} + \log_2 4 = \log_2 2 + \log_2 4 = 1 + 2 = 3$。よって②。

本日のチェックリスト

反射で答えられたら習得完了

✓

指数法則 $a^m \cdot a^n$ は?

$a^{m+n}$

✓

対数の定義は?

$\log_a b = c \iff a^c = b$

✓

$\log_a M^p$ は?

$p \log_a M$

✓

$\log_a 1$ は?

$0$

✓

底変換公式は?

$\dfrac{\log_c b}{\log_c a}$

三角関数の合成

$a\sin\theta + b\cos\theta$ を1つの関数に

予習のすすめ

加法定理 $\sin(\alpha+\beta)$ を予習しておくと、合成の理解が早まります。