共通テスト数学対策講座

第10講

複素数平面の基礎

$i$ で平面を回す ── 図形と数の融合

福岡先生 15分で得点源に変える

今日のゴール

Goals of this lecture

01

複素数を点として捉える

$a + bi$ を平面上の点 $(a, b)$ として理解

02

極形式で乗除を高速化

$r(\cos\theta + i\sin\theta)$ で角度を足し算に

03

回転と図形操作を制覇

$i$ を掛けると 90° 回転 ── 図形問題が代数で解ける

結論

複素数=平面上の点

直交形式

$z = a + bi$

実部 $a$ = x座標 / 虚部 $b$ = y座標

訳:座標で表す

極形式

$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$

$r$ = 大きさ / $\theta$ = 偏角

訳:角度で回す

基本公式

複素数の絶対値と偏角

MODULUS & ARGUMENT

$|z| = \sqrt{a^2 + b^2} \quad (z = a + bi)$

$\arg z = \theta$ ── 偏角(x軸からの角度)

$z = r(\cos\theta + i\sin\theta)$ ── 極形式

絶対値=原点からの距離。偏角=x軸正方向からの角度。

具体例 ①

$z = 1 + i$ の絶対値と偏角

例文

$|z| = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$

【偏角】 $\arg z = \dfrac{\pi}{4}$(45°)。極形式:$z = \sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)$

使い方の核心

$|z| = \sqrt{a^2 + b^2}$ で大きさを計算
$\tan\theta = b/a$ から偏角を出す
極形式に変換すれば、乗除がぐっと楽になる

極形式の威力

掛け算は「絶対値×・偏角+」

MULTIPLICATION

$z_1 z_2 = r_1 r_2 \{\cos(\theta_1 + \theta_2) + i\sin(\theta_1 + \theta_2)\}$

絶対値:$|z_1 z_2| = |z_1||z_2|$

偏角:$\arg(z_1 z_2) = \arg z_1 + \arg z_2$

掛け算 = 大きさは積、偏角は和。これが極形式の最大のメリット。

幾何的意味

$i$ を掛ける=90°回転

虚数単位 $i$ は極形式で $\cos\dfrac{\pi}{2} + i\sin\dfrac{\pi}{2}$

掛けると偏角が $\frac{\pi}{2}$ 増える=90°反時計回りに回転

$i$ の掛け算による回転

1

$\times i$

90° 反時計回り

2

$\times i^2 = \times(-1)$

180°回転

3

$\times i^3 = \times(-i)$

270°(=90°時計回り)

応用

ド・モアブルの定理

DE MOIVRE'S THEOREM

$\{r(\cos\theta + i\sin\theta)\}^n = r^n\{\cos(n\theta) + i\sin(n\theta)\}$

$n$ 乗= 絶対値を $n$ 乗、偏角を $n$ 倍。複素数の累乗計算が一瞬で終わる。

具体例 ②

$(1 + i)^{10}$ を計算

1

極形式に変換

$1 + i = \sqrt{2}\left(\cos\dfrac{\pi}{4} + i\sin\dfrac{\pi}{4}\right)$

2

ド・モアブルで $n=10$

$(1+i)^{10} = (\sqrt{2})^{10}\left(\cos\dfrac{10\pi}{4} + i\sin\dfrac{10\pi}{4}\right) = 32\left(\cos\dfrac{5\pi}{2} + i\sin\dfrac{5\pi}{2}\right)$

3

簡約化

$\dfrac{5\pi}{2} = 2\pi + \dfrac{\pi}{2}$ より $\cos = 0, \sin = 1$。よって $(1+i)^{10} = 32i$

応用問題

回転の使い方 ── 図形問題への応用

90°回転

$\times i$

点 $z$ を原点中心に 90° 反時計回りに回転 → $iz$。直交軸の図形変換が代数で書ける。

任意角回転

$\times(\cos\theta + i\sin\theta)$

点 $z$ を $\theta$ だけ回転 → $z(\cos\theta + i\sin\theta)$。任意の角度で図形を回せる。

複素数平面は、幾何の問題を代数で解くための強力な武器。

実戦演習

共通テスト形式で確認

問 $z = 2(\cos 30° + i\sin 30°)$ のとき、$z^3$ は?

① $8i$ ◀ 正解

② $-8$

③ $8$

④ $4\sqrt{3} + 4i$

ド・モアブルで $z^3 = 2^3 (\cos 90° + i \sin 90°) = 8 \cdot (0 + i) = 8i$ ── ①が正解。

本日のチェックリスト

反射で答えられたら習得完了

✓

$|z|$ の式は?

$\sqrt{a^2 + b^2}$

✓

極形式の表現は?

$r(\cos\theta + i\sin\theta)$

✓

$\times i$ の幾何的意味は?

90° 反時計回り

✓

掛け算の絶対値は?

絶対値の積

✓

ド・モアブルの公式は?

$r^n(\cos n\theta + i\sin n\theta)$

指数・対数関数

$e$ と $\log$ の世界

予習のすすめ

指数法則と対数の定義を復習しておくと、次回の理解度が一気に上がります。