共通テスト数学対策講座

第1講

ベクトルと内積
共通テスト頻出パターン

医学部志望のための数学得点戦略

福岡先生 15分で得点源に変える

今日のゴール

Goals of this lecture

01

内積の2つの定義を使い分け

「成分」と「なす角」── 状況に応じて即座に選択できる

02

頻出パターンを瞬時に判別

垂直条件・なす角・大きさの3パターンを反射で処理

03

過去問形式で確実に正答

共通テスト本番レベルの設問で、確実に得点する

結論

内積を2通りで掴む

成分で

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2$

座標が与えられたら、即この式

なす角で

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

図形・角度が与えられたら、この式

内積の定義 ── 2つの顔

同じものを、別の角度から見る

DEFINITION A

成分による定義

$\vec{a} = (a_1, a_2)$, $\vec{b} = (b_1, b_2)$ のとき

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2$

座標が出てきたら、機械的にこの式へ代入。

DEFINITION B

幾何による定義

$\vec{a}$ と $\vec{b}$ のなす角を $\theta$ とするとき

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

図形・角度の問題は、こちらが主役。

基本性質

必ず覚える4つの公式

CORE FORMULAS

$\vec{a} \cdot \vec{a} = |\vec{a}|^2$

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2\,\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

$\vec{a} \perp \vec{b} \iff \vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$\cos\theta = \dfrac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}||\vec{b}|}$

この4つで共通テストの内積問題は8割解ける。

頻出パターン ①

垂直条件 ── $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

EXAMPLE

$\vec{a} = (2, 1)$, $\vec{b} = (k, -3)$ が垂直であるような $k$ を求めよ。

1

垂直 ⇔ 内積 = 0

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 2 \cdot k + 1 \cdot (-3) = 2k - 3$

2

= 0 とおいて解く

$2k - 3 = 0$ より $\quad k = \dfrac{3}{2}$

頻出パターン ②

なす角 ── 2式を連立

EXAMPLE

$\vec{a} = (1, \sqrt{3})$, $\vec{b} = (\sqrt{3}, 1)$ のなす角 $\theta$ を求めよ。

1

成分で内積を計算

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot \sqrt{3} + \sqrt{3} \cdot 1 = 2\sqrt{3}$

2

大きさを計算

$|\vec{a}| = \sqrt{1 + 3} = 2$, $\quad |\vec{b}| = \sqrt{3 + 1} = 2$

3

$\cos\theta$ の式に代入

$\cos\theta = \dfrac{2\sqrt{3}}{2 \cdot 2} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$ より $\theta = 30°$

頻出パターン ③ ── 共通テスト最頻出

$|\vec{a} + \vec{b}|$ の大きさ

CORE TRICK

$|\vec{a} + \vec{b}|^2 = |\vec{a}|^2 + 2\,\vec{a} \cdot \vec{b} + |\vec{b}|^2$

大きさを聞かれたら「2乗して展開」が鉄則。

覚え方: $\vec{a} + \vec{b}$ の大きさは、展開して内積に変換する。 $|\vec{a}|$, $|\vec{b}|$, $\vec{a} \cdot \vec{b}$ の3つが与えられれば、必ず計算できる。

図形と内積

正三角形での頻出設定

正三角形 ABC で1辺の長さが $1$ のとき:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}||\vec{AC}|\cos 60°$
$= 1 \cdot 1 \cdot \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}$

▸ 正三角形 → 内積は $\dfrac{1}{2} \cdot |\vec{AB}||\vec{AC}|$
▸ 正方形・直角三角形でも同じ手順

実戦演習

共通テスト形式で確認

問 $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 2$, $\vec{a} \cdot \vec{b} = 4$ のとき $|\vec{a} + \vec{b}|$ の値は?

①$\sqrt{17}$

② $\sqrt{21}$ ◀ 正解

③$5$

④$\sqrt{29}$

$|\vec{a}+\vec{b}|^2 = 9 + 2\cdot 4 + 4 = 21$ より $|\vec{a}+\vec{b}| = \sqrt{21}$。

本日のチェックリスト

反射で答えられたら習得完了

✓

内積の成分定義は?

$\vec{a}\cdot\vec{b} = a_1 b_1 + a_2 b_2$

✓

内積の幾何定義は?

$|\vec{a}||\vec{b}|\cos\theta$

✓

$\vec{a} \perp \vec{b}$ の条件は?

$\vec{a}\cdot\vec{b} = 0$

✓

$\vec{a}\cdot\vec{a}$ の値は?

$|\vec{a}|^2$

✓

$|\vec{a}+\vec{b}|$ を求めるには?

2乗して展開

位置ベクトルと点の分割

内分点・外分点・重心

予習のすすめ

「内分点の公式」を一度復習しておくと、次回の応用がスムーズになります。